（1） 「Ａ数と式」，「Ｂ図形」，「Ｃ関数」及び「Ｄデータの活用」の学習やそれらを相互に関連付けた学習において，次のような数学的活動に取り組むものとする。

ア　日常の事象や社会の事象を数理的に捉え，数学的に表現・処理し，問題を解決したり，解決の過程や結果を振り返って考察したりする活動

イ　数学の事象から見通しをもって問題を見いだし解決したり，解決の過程や結果を振り返って統合的・発展的に考察したりする活動

ウ　数学的な表現を用いて論理的に説明し伝え合う活動

　第２学年においては，各領域の学習やそれらを相互に関連付けた学習において，

「日常の事象や社会の事象を数理的に捉え，数学的に表現・処理し，問題を解決したり，解決の過程や結果を振り返って考察したりする活動」，

「数学の事象から見通しをもって問題を見いだし解決したり，解決の過程や結果を振り返って統合的・発展的に考察したりする活動」，

「数学的な表現を用いて論理的に説明し伝え合う活動」

　に取り組む機会を設けることで，生徒が数学的活動に主体的に取り組み，基礎的・基本的な知識及び技能を確実に身に付けるとともに，思考力，判断力，表現力等を高め，数学を学ぶことの楽しさや意義を実感できるようにすることを目指している。

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　第３学年では，こうした基本的な考え方を引き続き重視する。

　第２学年と三つの活動の示し方が同じであるのは，第２学年と第３学年を通して数学的活動がより充実したものになるように指導することが必要であると判断したためである。

　第３学年においては第２学年に引き続き，「日常の事象や社会の事象を数理的に捉え，数学的に表現・処理し，問題を解決したり，解決の過程や結果を振り返って考察したりする活動」を更に充実することが必要である。この数学的活動の例として，次のような活動が考えられる。

　この活動は，第３学年「Ｂ図形」の（3）のイの（ｲ）「三平方の定理を具体的な場面で活用すること」の指導における数学的活動である。

　山の頂上から見渡せる距離について求める場面で，地球を球とみなしたり，視界を遮るものがないとしたりするなど事象を理想化したり単純化したりすることで，この具体的な場面を図形として捉える。

　このようにすることで，「山頂からどこまで見渡せるのか」という日常生活や社会に関わる問題を，「円の外の１点から接線をひくと，その点から接点までの長さはどのように求めることができるか」と数学的に表現した問題として捉え直し，三平方の定理や円の接線の性質などをもとにして解決することができる。

　このように具体的な場面を理想化したり単純化したりすることで数学を利用できるようにし，日常生活や社会に関わる問題を解決できることや，解決の結果や方法を具体的な場面に即して意味付けたり吟味したりすることができるようになることがねらいである。

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　この活動に生徒が主体的・対話的に取り組むことができるようにし，深い学びの実現につなげることが大切である。

　そのために，直角三角形の２辺の長さから三平方の定理を用いて残りの１辺の長さを求めることや，２点間の距離を求めるために直角三角形を見いだして三平方の定理を用いることができるよう指導とその計画を工夫する。

　また，具体的な場面を理想化したり単純化したりすることで数学を利用できるようにすることを図形領域に限らず，他の領域の指導においても意図的に扱っておく。

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　こうした指導を踏まえ，山頂から見渡すことができる距離を求めるための見通しを立てる。

　つまり，既に分かっていることを整理して，問題場面を図に表し，山頂から見渡すことができる距離とはどの長さを意味するか，その長さを求めるためには更に何を求める必要があるのか，これまでに学習した図形の性質のうち，どれを用いればよいのかなどを明らかにしていく。

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　このような見通しに基づいて，地球の半径や山の高さなどの必要なデータを集め，図形として捉えた場面に直角三角形をつくり出し，三平方の定理や円の接線の性質などを用いて見渡せる範囲を求める。

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　なお，対象となる山頂を遠くから撮影した写真などを事前に準備して，求めた結果と比較・検討するとともに，一定の制約が生じていることを確認できるようにしておくことが必要である。

　また，授業で，三平方の定理を用いて線分ABの長さを求める際，山頂から見渡すことができる距離として妥当であるかについて解決の過程や結果を振り返ることが考えられる。

　第３学年においては第２学年に引き続き，「数学の事象から見通しをもって問題を見いだし解決したり，解決の過程や結果を振り返って統合的・発展的に考察したりする活動」を更に充実させることが必要である。

　この数学的活動の例として，次のような活動が考えられる。

　この活動は，第３学年「Ａ数と式」の（2）のイの（ｲ）「文字を用いた式で数量及び数量の関係を捉え説明すること」の指導における数学的活動である。

　ここでのねらいは，例えば，「連続する二つの偶数の積に１をたすと，奇数の２乗になる」ことを，文字式を用いて説明し，それを振り返って統合的・発展的に考えることとする。

　また，その過程において，文字式を用いて数や数量などを一般的に表すことや目的に応じて式を変形すること，式の意味を読み取ることなどのよさを知り，その後の方程式や図形の学習に生かすことができるようにする。

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　この活動に生徒が主体的・対話的に取り組むことができるようにし，深い学びの実現につなげることが大切である。

　そのために，連続する数などを文字を用いて表すことや，乗法公式や因数分解の公式を用いて式の変形をすることができるよう指導とその計画を工夫する。

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　こうした指導を踏まえ，「連続する二つの偶数の積に１をたすとどのような数になるか」を文字を用いて説明する活動に取り組む機会を設ける。

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　例えば，
　連続する偶数の積について，
　具体的な数を用いて計算し，
　幾つかの結果から，

　「連続する二つの偶数の積に
　　１をたすと，
　　奇数の２乗になる」

　という予想を立て，
　この予想が常に成り立つか
　という問題を見いだす。

　この予想が常に成り立つことを
　説明するために，

　整数を表す文字n を用いて
　二つの連続する偶数を
　２n，２n＋２ と表すこと，

　「二つの偶数の積に１をたす」ことは，
　文字式で
　２n（２n＋２）＋１ と表現できること，

　そして，

　「奇数の２乗になる」ことは，
　２n（２n＋２）＋１の計算結果を
　（奇数）² という形の式に
　変形すればよいこと

　を確認する。

　その上で，
　具体的な式変形の過程を示し，
　予想について説明できるようにする。

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　この学習では，

　２n（２n＋２）＋１＝…＝（２n＋１）²

　という一連の式の変形を振り返り，
　２n＋１が，
　連続する偶数２n と２n＋２の間の奇数
　に当たることから，
　発展的に考えて，
　新たな性質として

　「連続する二つの偶数の積に
　　１をたすと，
　　二つの偶数の間にある奇数の２乗
　　になる」

　を発見することが大切である。

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　また，新たに発見した性質をもとに，問題の条件を偶数から奇数に変え，「連続する二つの奇数の積に１をたすと，二つの奇数の間にある偶数の２乗になるのではないか」と新たな予想を立て，これを説明することが考えられる。

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　さらに，「連続する偶数の積から１を引いたらどのような数になるか」という問題を見いだし，具体的な数を用いて計算し，幾つかの結果から，例えば，「連続する偶数の積から１を引いたら素数になる」という予想を立てることが考えられる。

　連続する二つの偶数が10 と12 の場合は，10×12−１＝119＝７×17 となり，119 は素数にはならない。

　このことから，予想が常に成り立つとは限らないことを示すには反例を一つ示せばよいことを学び直すことも考えられる。

　第３学年においては第２学年に引き続き，「数学的な表現を用いて論理的に説明し伝え合う活動」を更に充実させることが必要である。

　この数学的活動の例として，次のような活動が考えられる。

　この活動は，第３学年「Ｃ関数」の（1）のアの（ｳ）「いろいろな事象の中に，関数関係があることを理解すること」の指導における数学的活動である。

　ここでのねらいは，例えば，身の回りにある交通機関の乗車距離と料金や郵便物の重さと料金などを依存関係にある二つの数量として捉え，表やグラフを用いて，その変化や対応の特徴を考察し説明し伝え合うことを通して，関数関係についての理解を深めることとする。

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　この活動に生徒が主体的・対話的に取り組むことができるようにし，深い学びの実現につなげることが大切である。

　そのために，関数関係に着目し，その特徴を表，式，グラフを相互に関連付けて考察することができるよう指導とその計画を工夫する。

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　こうした指導を踏まえ，いろいろな事象の中にある関数関係の特徴を説明する活動に取り組む機会を設ける。

　交通機関の乗車距離と料金の関係や郵便物の重さと料金の関係に着目してその関係を調べ，関数関係の意味に基づいて，それぞれの料金が距離や重さの関数であることを明らかにし，その関係を表やグラフに表して変化や対応の特徴を説明する。

　また，複数の交通機関や異なる郵送方法を比較し，どのような場合にどちらを利用すれば料金が安くなるかをグラフを用いて説明することも考えられる。

　関数関係は必ず式で表すことができると考えている生徒については，伴って変わる二つの数量について，一方の値を決めたとき他方の値がただ一つに決まれば関数といえることを確認し，この意味に基づいて関数であるかどうかを判断するように促す。

　グラフについては，連続した直線や曲線にはならず，階段状の線分になることを明らかにし，このことは，それぞれの区間の料金が一定であることを意味していることなどを説明する。

　グラフに表すことができない生徒については，具体的な距離と料金の関係などを座標平面上に点で示すことで，グラフの概形を捉えることができるように配慮する。