（3） 小数の乗法及び除法に関わる数学的活動を通して，次の事項を身に付けることができるよう指導する。

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ア　次のような知識及び技能を身に付けること。

（ｱ） 乗数や除数が小数である場合の小数の乗法及び除法の意味について理解すること。

（ｲ） 小数の乗法及び除法の計算ができること。

　また，余りの大きさについて理解すること。

（ｳ） 小数の乗法及び除法についても整数の場合と同じ関係や法則が成り立つことを理解すること。

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イ　次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。

（ｱ） 乗法及び除法の意味に着目し，乗数や除数が小数である場合まで数の範囲を広げて乗法及び除法の意味を捉え直すとともに，それらの計算の仕方を考えたり，それらを日常生活に生かしたりすること。

　第４学年では，小数の乗法及び除法について，数のまとまりに着目して，被乗数，被除数が小数の場合の乗法や除法，ある量の何倍かを表すのに小数を用いることがあることに関して指導してきた。

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　第５学年では，乗数，除数が小数の場合にも乗法や除法が用いられるように意味を広げることをねらいとしている。

　その際に，整数の場合の計算の意味や計算の仕方を活用して，新しい計算の仕方をつくることができるようにし，学習したことを生活や学習に活用する態度を養うことが大切である。

　計算の範囲としては，1/10 の位までの小数や1/100 の位までの小数などを指導する。

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　ここで育成される資質・能力は，分数の乗法及び除法の演算を判断したり，計算の仕方を見いだしたりする際などの考察に生かされるものである。

　第４学年までに，整数の乗法は，「一つ分の大きさが決まっているときに，その幾つ分かに当たる大きさを求める」場合や，「何倍かに当たる大きさを求める」場合などに用いるといった意味付けがなされてきた。

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　第５学年では，乗法を乗数が小数の場合にも用いることができるようにしたり，除法との関係も考えて，より広い場面や意味に用いることができるようにしたりして一般化していく。

　その際，数量関係を表している文脈が同じときには，整数の場合に成り立つ式の形は，小数の場合にもそのまま使えるようにするという考えにより，小数を含んだ乗法の意味を，「基準にする大きさ（Ｂ）」の「割合（ｐ）」に当たる大きさを求める操作がＢ×ｐであるとしてまとめることができる。

　Ａを「割合に当たる大きさ」とすると，
　Ｂ×ｐ＝Ａ と表すことができる。

　このときｐが小数になってもこの式のまま使えるという拡張の考えを用いている。

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　例えば，１メートルの長さが80円の布を２メートル買ったときの代金は，80×２ という式で表せる。

　同じ布を今度は0.8メートルや2.5メートル買ったときの代金についても，それぞれ 80×0.8 や 80×2.5 と，式の形は同じに表すことができる。

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　数直線を用いることによって乗数ｐが１より小さい場合，積は被乗数Ｂより小さくなることも説明できる。

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　除法の意味としては，
　乗法の逆として，
　割合を求める場合と，
　基準にする大きさを求める場合
　とがある。

　Ｂを「基準にする大きさ」，
　ｐを「割合」，
　Ａを「割合に当たる大きさ」とすると，
　次のような二つの場合である。

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�@ ｐ＝Ａ÷Ｂ

　これは，
　ＡはＢの何倍であるか
　を求める考えであり，
　除法の意味としては，
　ｐが整数の場合には，
　いわゆる包含除の考えに当たる。

　例えば，

　「９メートルの赤いリボンを，
　　1.8メートルずつ切り取ると
　　何本できるか」や

　「９メートルの赤いリボンは，
　　1.8メートルの青いリボンの
　　何倍になるか」

　という場合である。

　式は，９÷1.8 となる。

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�A Ｂ＝Ａ÷ｐ

　これは，
　基準にする大きさを求める考えであり，
　除法の意味としては，
　ｐが整数の場合には，
　いわゆる等分除の考えに当たる。

　例えば，
　「2.5メートルで200円の布は，
　　１メートルではいくらになるか」
　という場合である。

　式は，200÷2.5 となる。

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　これらの式は，
　Ｂやｐが整数の場合だけでなく，
　小数の場合にもそのまま当てはまる
　と考えていくことが大切である。

　このとき，多くの児童にとっては，
　�@の場合に比べ，
　�Aの方が捉えにくい。

　つまり，
　ｐが整数の場合は，
　ｐ等分した一つ分の大きさを求める
　という見方で
　除法を捉えることもできたが，
　ｐが小数の場合を含めるときは，
　見方を一般化して，
　１に当たる大きき（基準にする大きさ）
　を求める
　という説明で除法を捉える必要がある。

　このことに難しさがある。

　この点については，公式や言葉の式だけでなく，数直線や図などを用いたり具体的な場面に当てはめたりして分かりやすくすることが大切である。

　また，はじめに乗法の式に表してから，除法で求めるという考えを用いることも大切である。

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　なお，除数と商の大きさの関係については，除数が１より小さいとき，理解が困難になる児童が多くみられる。

　下の図のような数直線などを用いるなどして，除数が１より小さいとき，商が被除数よりも大きくなる理由について説明できるようにする。

　小数は，整数と同じ十進位取り記数法で表現されているから，乗法や除法の計算は，単位，すなわち小数点の位置に着目してこれを移動し，整数に置き換えれば，整数の計算と同様な考え方で積や商を求めることができる。

　十進位取り記数法の仕組みが計算にも有効に生かされていることに気付くよう指導することが大切である。

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　小数の乗法や除法の計算の仕方は，計算に関して成り立つ性質を用いて，整数の乗法や除法に直して考えることができる。

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　小数の乗法については，乗数を10倍すると積も10倍になることなどの乗法に関して成り立つ性質を生かして，児童が既習の整数の乗法に直して考えられるようにする。

　例えば，12×4.3 の計算は，

　12×（4.3×10）÷10＝12×43÷10

　と考えることができる。

　また，12×0.43 の計算は，

　12×（0.43×100）÷100＝12×43÷100

　と考えることができる。

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　小数の除法については，「除法の計算で，除数及び被除数に同じ数をかけても商は変わらない」という除法に関して成り立つ性質を生かして，計算の仕方を考えられるようにする。

　例えば，7.2÷2.4 の計算は，

　（7.2×10）÷（2.4×10）＝ 72÷24

　と考えることができる。

　また，0.1÷0.04 の計算は，

　（0.1×100）÷（0.04×100）＝10÷４

　と考えることができる。

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　なお，小数を割る計算の場面で，被除数の最小の位で割り切れないときは，割り進むことができることを指導する。

　例えば，0.5÷0.4＝1.25 となる。

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　また，小数の除法で余りのある場合は，余りの小数点の位置に誤りが多いので注意を要する。

　その際には，余りが表す大きさを考えさせ，余りは除数より小さいことや，

　（被除数）＝（除数）×（商）＋（余り）

の式に当てはめて，商，除数，余りの大きさの関係を捉えることなどについて指導する。

　整数の乗法及び除法に関して成り立つ関係や法則が，小数の場合でも成り立つことを確かめるようにする。

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　例えば，30×2.5 と 30×２＋30×0.5 をそれぞれ計算すると結果は等しくなる。

　一般に，小数の場合でも，

　□×（△＋○）＝□×△＋□×○

　という分配法則が成り立つことが分かる。

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　こうした計算に関して成り立つ性質を活用して，計算の仕方を考えたり，計算の結果を確かめたりできるようにすることが大切である。

　乗数が整数の場合，Ｂ×ｐ＝Ａ という式で表された乗法の意味を，一つ分の大きさＢのｐ個分に当たる大きさやｐ倍に当たる大きさを求める計算であると捉えていた。

　この乗法の意味を，乗数が小数の場合も含めて，乗法の意味をＢを１とみたときのｐに当たる大きさを求める計算と捉え直せるようにする。

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　例えば，１ｍ120円のリボン2.5ｍ分の代金を求める場合で考える。

　２ｍ分の代金は120×２，３ｍ分の代金は120×３と表すことができたことから，長さが2.5 ｍのときも，代金は120×2.5 と表すことができるのではと類推して考えることができる。

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　ただ，乗数が小数の場合も，整数と同じ考えで120×2.5 と立式してよいかについては，この時点では明らかではない。

　乗数が小数でも120×2.5 と式に表していいのか，その場合，小数をかける意味はどのように考えればよいか明らかにする必要がある。

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　そこで実際に120×2.5 を今までに学習した乗法の性質を用いて答えを出してみて，実際の値段と一致するか確かめてみることが大切である。

　例えば乗法の交換法則を用いて答えを出すと，120×2.5＝2.5×120＝300 となる。

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　一方，実際の値段を素朴に求めると，１ｍが120円，だから 0.5ｍは60円。

　2.5ｍだから，120＋120＋60＝300 となり一致する。

　このことから，120×2.5 と書いてよさそうだと考えることができる。

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　次に，乗数が整数の場合の乗法の意味では，乗数が小数の場合の意味を捉えることができないことから，乗法の意味を広げる必要がある。

　２ｍ，３ｍ，2.5 ｍはそれぞれ１ｍを基にすると，２倍，３倍，2.5倍に当たる。

　そこで，下のような数直線を用いて，割合が２の時は 120×２，割合が３のときには120×３と表すことができたことから，割合が2.5 のときも 120×2.5 と立式すると考えることができる。

　言い換えると，ある数に2.5 をかけることは，ある数を１としたときに2.5 に当たる大きさを求めることになる。

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　このようにして，乗法とは割合に当たる大きさを求める計算であると考えることで，乗数が整数の場合の意味も含み，乗数が整数でも小数でも同じ意味で捉えることができる。

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　乗数が小数の乗法の計算の仕方は，数直線を用いたり，計算に関して成り立つ性質などを用いたりすることにより考えることができる。

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　例えば，120×2.5 の計算の仕方を考える。割合が0.1 のときには量が12 であり，2.5 という割合は0.1 の25倍に当たることから，その量は，12×25 で求めることができる。

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　また，計算に関して成り立つ性質を用いることもできる。

　乗数の 2.5 を10倍して 25 にする。

　120×25 を計算してその答えを10 で割ると，120×2.5 の答えが求められる。

　これは，筆算形式での小数点の移動にもつながる考え方でもある。

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　小数の除法の意味や計算の仕方を考えるときも同様な活動を行うことが大切である。

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　また，身の回りには，小数で表された量が多くある。

　これらの量を用いて計算することも多い。このような場面を捉えて，小数やその計算を日常生活で生かそうとする態度を養うことが大切である。